La construcción de la escala musical

Las matemáticas tienen  gran importancia en los orígenes de la escala musical y su posterior evolución. Explicaremos como se construye la escala musical a partir de proporciones de las frecuencias de las diferentes notas a partir de una nota dada. Y también, cómo esto ha dado problemas para fijar una escala definitiva a gusto de todos. 

El origen de la escala musical

La escala actual (escala occidental) es el resultado de un largo proceso de aprendizaje de las notas. Los pitagóricos construyeron un aparato llamado monocordio que se componía de una tabla, una cuerda tensa y una tabla más pequeña que se iba moviendo por la grande.
	Monocordio

Los pitagóricos observaron que haciendo más o menos larga la cuerda (moviendo la tabla móvil) se producían sonidos diferentes. Entre estos sonidos escogieron algunos que eran armoniosos con el sonido original (cuerda entera).

CUESTINARIO

1.-  Escibe el nombre del aparato que construyeron los pitagóricos .

2.- ¿ De qué estaba formado ?

3.- ¿ Qué observaron los pitagóricos ?

Los más importantes, por su simplicidad y su importancia a la hora de construir la escala musical, son:

• La octava. Cuando la cuerda medía un medio del total, el sonido se repetía, pero más agudo. La octava es lo que correspondería a un salto de ocho teclas blancas del piano; o mejor dicho, una octava es la repetición de un sonido con una cuerda con la mitad de largura, por tanto, otra nota armoniosa. Su frecuencia es doble.
• La quinta es otro intervalo entre notas que se obtiene con una cuerda de largura dos tercios de la inicial. Su frecuencia es de tres medios del sonido inicial. Corresponde a un salto de cinco teclas blancas en un piano.
• La cuarta es, como las anteriores, otro intervalo entre notas que se obtiene con una cuerda de largura tres cuartos de la inicial. Su frecuencia es cuatro tercios de la nota inicial.

La construcción de la escala musical

Lo que queremos hacer es encontrar notas armoniosas con la nota base que se encuentren entre la nota original y su octava.

Supondremos que la nota original tiene una frecuencia f. Entonces, la octava tendrá frecuencia 2f. Queremos encontrar notas que tengan frecuencia entre f y 2f

La primera que tenemos es la quinta, la frecuencia es 3/2·f. Corresponde a una cuerda de longitud 2/3 la inicial.

El siguiente paso es encontrar la quinta de la quinta. La frecuencia será 3/2·3/2 ·f=9/4·f. El problema es que esa nota tiene una frecuencia más grande que 2f. Lo que hacemos es encontrar una nota una octava más abajo. Es decir, una nota con frecuencia9/8·f.

Si vamos repitiendo el proceso obtenemos las notas siguientes:

• f
• 3/2·f
• 9/8 ·f. Después de haber descendido una octava.
• 3/2·9/8 ·f=27/16·f
• 3/2·27/16 ·f=81/32·f. Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64·f
• 3/2·81/64 ·f=243/128·f

Añadiendo la cuarta, nos queda una escala de 7 notas con estas razones entre las frecuencias: 

Esta es la escala que llamamos diatónica. Consta de 7 notas, la octava es la misma que la anterior una octava más alta. Se corresponden a las teclas blancas del piano.

Podemos ver que hay dos razones diferentes: el tono 9/8 y el semitono 256/243. La pregunta que nos hacemos es qué relación hay entre las dos razones. Se puede ver que dos semitonos hacen casi un tono (256/243)² =1,109, pero no es exactamente el mismo.

Si ahora utilizásemos las cuartas para ir encontrando nuevas notas armoniosas, comenzarían a salir las "teclas negras" del piano, es decir, los sostenidos y los bemoles. Cuando la escala queda completa con 12 notas (las teclas negras y las blancas), esto es lo que se llama la escala.cromática 
  
 

Como un tono no es exactamente dos semitonos, había lugares donde los intervalos eran más grandes o más pequeños que en otros lugares. Esto daba problemas para afinar instrumentos con intervalos fijos como el piano o la guitarra. Es para esto que se creó la escala temperada. La cantidad de notas que tiene es la misma, pero la forma de afinación es diferente. En la escala temperada, la razón entre la frecuencia de una nota y la anterior es siempre constante.

Si llamamos r a esta razón, se cumplirá que las frecuencias formaran una progresión geométrica del tipo:

de lo que se deduce que r¹² = 2, de donde r = = 1,059...

Esta escala resuelve los problemas de afinación, pero no podemos olvidar que las notas más armoniosas eran las que se había encontrado mediante el método geométrico, es decir las de la escala cromática. Instrumentos sin intervalos fijos como violines, contrabajos, etc. pueden utilizar la afinación de la escala cromática.